在实际问题中经常要遇到三元以上函数的极值问题，对此除了微积分中的方法之外，本文中将介绍如何用二次型的正定性计算多元函数极值。

　　一、 基本概念

　　定义1  设n元函数在的某个邻域内有一阶、二阶连续偏导数，记，称为函数f(x)在点处的梯度。

　　定义2  满足的点称为函数的驻点。

    定义3

　　称为函数在点处的海塞矩阵。显然是由的个二阶偏导数构成的阶实对称矩阵。

　　二、 相关定理

　　定理1 (极值存在的必要条件)

　　设函数在处存在一阶偏导数，且为该函数的极值点，则。

　　定理2(极值存在的充分条件)

　　设函数在的某个邻域内有一阶、二阶连续偏导数，且，则

　　(1)当为正定矩阵时，为的极小值;

　　(2)当为负定矩阵时，为的极大值;

　　(3)当为不定矩阵时，不是的极值。

　　三、 例题讲解

　　例 求三元函数的极值。

　　解：先求驻点，由 得

　　所以 驻点

　　再求海塞矩阵

　　因为

　　所以，可知是正定的，

　　所以在点取得极小值：。

　　备注：利用二次型的正定性来判断多元函数的极值虽然是一个很好的方法，但有一定的局限性，因为充分条件对正定和负定的要求是很严格的，若条件不满足，那结论就不一定成立。

　　基础部： 韩云娜